Mnoho studentů studujících vyšší matematiku v posledním ročníku pravděpodobně uvažovalo: kde se v praxi používají diferenciální rovnice (DE)? Tato otázka zpravidla není diskutována na přednáškách a učitelé okamžitě přecházejí k řešení DE, aniž by studentům vysvětlili aplikaci diferenciálních rovnic v reálném životě. Pokusíme se tuto mezeru zaplnit.
Začněme definováním diferenciální rovnice. Diferenciální rovnice je tedy rovnice, která spojuje hodnotu derivace funkce s funkcí samotnou, hodnotami nezávislé proměnné a některými čísly (parametry).
Nejběžnější oblastí, ve které se používají diferenciální rovnice, je matematický popis přírodních jevů. Používají se také při řešení problémů, kde není možné navázat přímý vztah mezi některými hodnotami popisujícími proces. Takové problémy vznikají v biologii, fyzice, ekonomii.
V biologii:
Prvním smysluplným matematickým modelem popisujícím biologické komunity byl model Lotka - Volterra. Popisuje populaci dvou interagujících druhů. První z nich, zvaný predátoři, při absenci druhého zemře podle zákona x ′ = –ax (a> 0) a druhý - kořist - při absenci predátorů se v souladu se zákonem množí na neurčito Malthus. Interakce těchto dvou typů je modelována následovně. Oběti umírají rychlostí rovnající se počtu setkání dravců a kořisti, o nichž se v tomto modelu předpokládá, že jsou úměrné velikosti obou populací, tj. Rovné dxy (d> 0). Proto y '= by - dxy. Predátoři se množí rychlostí úměrnou počtu sežraných kořistí: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Systém rovnic
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = podle - dxy, (2)
dravec-kořist popisující takovou populaci se nazývá systém Lotka-Volterra (nebo model).
Ve fyzice:
Newtonův druhý zákon lze napsat ve formě diferenciální rovnice
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), kde m je hmotnost tělesa, x je jeho souřadnice, F (x, t) je síla působící na těleso se souřadnicí x v čase t. Jeho řešením je trajektorie tělesa pod působením stanovené síly.
V ekonomii:
Model přirozeného růstu produkce
Budeme předpokládat, že některé produkty se prodávají za pevnou cenu P. Nechť Q (t) označuje množství produktů prodaných v čase t; pak v tomto okamžiku je příjem roven PQ (t). Část určeného příjmu nechte utratit za investice do výroby prodaných produktů, tj.
I (t) = mPQ (t), (1)
kde m je míra investice - konstantní číslo a 0
